Ecuaciones de primer grado

Aprendiendo matemática

Antes de iniciar la sesión te propongo resolver el siguiente desafío:

Corrige la igualdad moviendo apenas dos fósforos

Responde:
¿Qué procedimientos utilizaste para resolver el desafío? 

¿Cómo lo llamarías a la expresión matemática?

 ¿Te has preguntado alguna vez que es una igualdad?

Ahora te propongo resolver la siguiente situación problemática:
Dos hermanos tienen sus terrenos uno de forma rectangular y el otro de forma triangular , pero ambos tienen  el mismo perímetro. Ellos desean cercar el terreno y desean saber cuántos metros tiene el lado representado por “x”.  Ayúdales a calcular la magnitud del lado. 

INICIACIÓN  AL  LENGUAJE  ALGEBRAICO  

I.  INTRODUCCIÓN

En matemática cuando queremos indicar que dos cosas son iguales, lo expresamos mediante el signo igual;  y a esta expresión le llamamos igualdad.

Observemos el gráfico siguiente:  

Observamos que las dos esferas están en equilibrio, esto significa que la esfera verde  tiene el mismo peso que la esfera roja.

Luego, ésta igualdad  lo representaremos de la siguiente manera:

2. IGUALDAD

Igualdad en matemática es  un enunciado en el que dos expresiones  denotan el mismo objeto matemático, es decir dos objetos matemáticos son considerados iguales si los objetos poseen el mismo valor.

3. ECUACIÓN

Una ecuación es una igualdad entre expresiones algebraicas que se cumplen solamente para ciertos valores literales.

También podemos decir que una ecuación es una igualdad en las que aparecen números y letras  (llamadas incógnitas o variables)  relacionados mediante operaciones matemáticas.

Cuando la ecuación sólo contiene la letra le llamamos ecuaciones con una incógnita, así mismo decimos que una ecuación es de primer grado cuando la incógnita, variable, es decir la letra, tiene como potencia la unidad.

4. ELEMENTOS DE UNA ECUACIÓN

Una ecuación está formada por varios elementos:

4.1 Miembros

Son las expresiones que están a ambos lados del signo igual.

Se llama primer miembro a toda la expresión que se encuentra a la izquierda del signo de igualdad y se llama segundo miembro a toda la expresión que se encuentra a la derecha del signo de igualdad.

4.2 Términos

Son los sumandos que forma cada miembro y pueden ser términos dependientes e independientes.

 4.3 Incógnita

La incógnita de una ecuación es la letra  o letras que aparecen en la ecuación y tienen un valor  desconocido.

4.4 Grado

Una vez realizadas todas las operaciones posibles en la ecuación, el mayor exponente que tenga la incógnita nos dará el grado de la ecuación.

GRADO DE LA ECUACIÓN 3x - 15 = x - 5              Ecuación de primer grado   2x2 -9  = 5x – 3                Ecuación de segundo grado

4.5 Soluciones
Son los valores que deben de tener las incógnitas para que la igualdad sea cierta.

Ejemplo:

3x - 15 = x – 5

 3x – x =  –5 + 15

    2X = 10

     X =10 / 2

     X = 5

Si reemplazamos el valor  obtenido de x (x = 5) en la ecuación tenemos:

  3x - 15 = x – 5

3(5) – 15 =  5 - 5

 15 - 15 = 0

       0 = 0

Luego, podemos observar que ambos miembros son iguales, por lo tanto la igualdad se cumple cuando x vale 0.

5.PROCEDIMIENTO PARA RESOLVER UNA ECUACIÓN DE PRIMER GRADO

Resolver una ecuación es encontrar el valor de la incógnita. Para esto debemos aplicar  algunas de las propiedades de las operaciones fundamentales y seguir los siguientes pasos:

  i.      Agrupa todos los términos que tengan la incógnita  (términos  semejantes) a un solo miembro y los otros  términos (números)  al  otro miembro. Para  hacer la transposición de los términos los signos de un miembro al otro  cambian así, si un término está sumando en un miembro pasa al otro miembro restando y viceversa: y el que está multiplicando en un miembro   pasa al otro miembro dividiendo y viceversa.

Así,  sea la ecuación:

8x + 2 = 4x +14      Agrupando términos semejantes (transposición)

8x – 4x = 14 – 2

 ii.        Resuelve  las operaciones de cada miembro

8x + 2 = 4x +14     Agrupando términos semejantes (transposición)

8x – 4x = 14 – 2      Resolviendo las operaciones de cada miembro

    4x = 12

iii.    El número que está multiplicando a la variable pasa al otro miembro con la  operación inversa a la multiplicación que es la división.

8x + 2 = 4x +14      Agrupando términos semejantes (transposición)

8x – 4x = 14 – 2      Resolviendo las operaciones de cada miembro

   4x  = 12         El factor 4 pasa al otro miembro dividiendo

      x = 12 / 4

iv.        Finalmente divide y obtendrás el resultado de la ecuación.

8x + 2 = 4x +14      Agrupando términos semejantes (transposición)

8x – 4x = 14 – 2      Resolviendo las operaciones de cada miembro

     x = 12           El factor 4 pasa al otro miembro dividiendo

     x = 12 / 4        Dividiendo

     x = 3

Refuerza el aprendizaje de la resolución de ecuaciones observando el vídeo:

6.  TALLER DE EJERCICIOS

Halla el valor de la incógnita en cada una de las siguientes ecuaciones:  

              i.        4X – 8 = 10 – 2X

a.   5

b.   4

c.   3

d.   N.A

             ii.        2(x – 1) – (x – 9) = 3(x – 1) + 8

a.   3

b.   2

c.   1

d.   N.A.

            iii.        4m – 4 = m – 16

a.   -2

b.   -3

c.   -4

d.   N.A.

            iv.        5(x – 2) + 3x = 2 (3x + 4)

a.   9

b.   8

c.   7

d.   N.A.

Recuerda:

• Una ecuación es una igualdad algebraica en la que aparecen letras (incógnitas) con valor desconocido.
• El grado de una ecuación viene dado por el exponente mayor de la incógnita.
• Solucionar una ecuación es encontrar el valor o valores de las incógnitas que transforman la ecuación en una identidad.
• Dos ecuaciones son equivalentes si tienen las mismas soluciones.
• Para conseguir ecuaciones equivalentes, sólo se puede aplicar alguna de las siguientes propiedades: 

    Propiedad 1: Sumar o restar a las dos partes de la igualdad una misma         expresión.
    Propiedad 2: Multiplicar o dividir las dos partes de la igualdad por un           número diferente de cero.